Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Конус

Шаг 1. Определим геометрическую ситуацию.

Плоскость, параллельная основанию конуса, пересекает его и создаёт круговое сечение. Это сечение подобно основанию конуса, потому что оба круга получены сечениями конуса плоскостями, перпендикулярными оси.

Шаг 2. Найдём коэффициент подобия.

Высоту конуса разделили на два отрезка: 3 (от вершины до плоскости) и 6 (от плоскости до основания). Полная высота конуса: $h = 3 + 6 = 9$.

Радиусы сечений относятся как расстояния от вершины. Если обозначить радиус основания как $R$, а радиус сечения как $r$, то: $$\frac{r}{R} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

Коэффициент подобия равен $\frac{1}{3}$.

Шаг 3. Применим свойство подобия для площадей.

Если два подобных круга имеют коэффициент подобия $k$, то их площади относятся как $k^2$: $$\frac{S_{\text{сечения}}}{S_{\text{основания}}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$$

Шаг 4. Вычислим площадь сечения.

Из условия известно, что площадь основания $S_{\text{основания}} = 18$. Тогда: $$S_{\text{сечения}} = S_{\text{основания}} \cdot \frac{1}{9} = 18 \cdot \frac{1}{9} = 2$$