Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Конус

Шаг 1. Определим коэффициент подобия.

Сечение проведено параллельно основанию и делит высоту в отношении 1 : 1 от вершины. Это значит, что высота отсечённого конуса составляет половину высоты исходного конуса: $h_{отс} = \frac{H}{2}$.

При параллельном сечении основания конусов подобны. Радиусы оснований связаны той же пропорцией, что и высоты (по свойству подобия): $r_{отс} = \frac{R}{2}$.

Коэффициент линейного подобия: $k = \frac{1}{2}$, или наоборот, исходный конус больше отсечённого в 2 раза.

Шаг 2. Используем свойство площадей подобных фигур.

При линейном коэффициенте подобия $k = 2$ (исходный конус к отсечённому) площади поверхностей относятся как квадрат этого коэффициента:

$$\frac{S_{исх}}{S_{отс}} = k^2 = 2^2 = 4$$

Это свойство применимо ко всем поверхностям: боковой поверхности, основанию и полной поверхности.

Шаг 3. Найдём площадь отсечённого конуса.

Так как полная поверхность исходного конуса равна 12, то:

$$S_{отс} = \frac{S_{исх}}{4} = \frac{12}{4} = 3$$