Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Конус

Шаг 1. Запишем формулы площадей.

Площадь основания конуса: $S_{\text{осн}} = \pi r^2$, где $r$ — радиус основания.

Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = \pi rl$, где $l$ — образующая конуса.

Шаг 2. Используем условие задачи.

По условию боковая поверхность в два раза больше основания: $$S_{\text{бок}} = 2S_{\text{осн}}$$ $$\pi rl = 2\pi r^2$$

Сокращаем на $\pi r$ (при $r \neq 0$): $$l = 2r$$

Шаг 3. Применим геометрию конуса.

В конусе образующая $l$, радиус основания $r$ и высота $h$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между образующей и плоскостью основания — это угол $\alpha$ при основании этого треугольника.

В этом треугольнике:

• гипотенуза равна $l$
• катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен $r$

Шаг 4. Найдём угол.

Соотношение: $$\cos\alpha = \frac{r}{l} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$$

Этому значению соответствует угол $\alpha = 60°$.