Задание 3 ЕГЭ: куб — формулы и разбор примеров

О чём эта подтема

Задание 3 профильного ЕГЭ по математике проверяет умение работать с простыми пространственными фигурами — кубом, параллелепипедом, призмой, пирамидой, цилиндром, конусом и шаром. Куб — самая простая из этих фигур, потому что все его элементы связаны друг с другом через одну единственную величину — длину ребра $a$. Именно поэтому задачи на куб решаются быстрее всех остальных: достаточно найти ребро из данного условия, а потом выразить через него всё, что требуется найти.

В задании обычно дают одну характеристику куба (объём, площадь поверхности, диагональ, площадь грани или диагональ грани) и просят найти другую. Никаких сложных построений и дополнительных теорем не требуется — только знание формул и аккуратные вычисления с корнями и степенями.

Что нужно знать

Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны. Обозначим длину ребра куба через $a$. Тогда все остальные величины выражаются через $a$ следующим образом.

Площадь одной грани. Каждая грань куба — квадрат со стороной $a$, поэтому её площадь равна $$S_{\text{грани}} = a^2.$$

Площадь полной поверхности. У куба 6 граней, все они равны, поэтому $$S = 6a^2.$$

Объём куба. $$V = a^3.$$

Диагональ грани (диагональ квадрата). По теореме Пифагора в квадрате со стороной $a$: $$d_{\text{грани}} = a\sqrt{2}.$$

Диагональ куба. Диагональ куба соединяет две противоположные вершины и проходит через внутреннюю часть тела. Её можно найти по теореме Пифагора дважды: сначала найти диагональ грани, затем рассмотреть прямоугольный треугольник, где одним катетом является диагональ грани, а другим — ребро куба, перпендикулярное этой грани: $$d = \sqrt{d_{\text{грани}}^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}.$$

Эту формулу удобно запомнить целиком: $$d = a\sqrt{3}.$$

Периметр грани. Иногда встречается и такая величина: $$P_{\text{грани}} = 4a.$$

Все формулы завязаны на одну переменную $a$, поэтому главное умение в этой теме — быстро переходить от одной формулы к другой, выражая $a$ из данного условия и подставляя его в нужную формулу.

Полезно держать в голове и обратные зависимости: $$a = \sqrt{\dfrac{S}{6}}, \qquad a = \sqrt[3]{V}, \qquad a = \dfrac{d}{\sqrt{3}}.$$

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения любой задачи на куб в задании 3 одинаков и состоит из трёх шагов.

Шаг 1. Определить, что дано. Внимательно прочитать условие и понять, какая величина известна: объём, площадь поверхности, площадь одной грани, диагональ куба или диагональ грани.

Шаг 2. Найти ребро куба $a$. Из известной величины выразить $a$, используя соответствующую формулу из раздела «Что нужно знать». Часто для этого нужно извлечь корень (квадратный или кубический).

Шаг 3. Найти искомую величину. Подставить найденное значение $a$ в формулу той величины, которую нужно найти по условию задачи.

Такая цепочка «дано → ребро → искомое» работает всегда, независимо от того, что дано и что нужно найти. Важно не пытаться связать две величины напрямую (например, площадь поверхности с диагональю) — всегда безопаснее сначала получить ребро, а затем через него выйти на ответ. Это исключает ошибки и путаницу в формулах.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что при извлечении корня из площади поверхности получается ребро, а не диагональ, а при извлечении кубического корня из объёма — тоже ребро. Именно ребро является «мостом» между всеми характеристиками куба.

Разбор примера

Пример 1. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

Шаг 1. Дано: $S = 18$. Нужно найти диагональ $d$.

Шаг 2. Найдём ребро куба из формулы площади поверхности: $$S = 6a^2 \quad \Rightarrow \quad a^2 = \dfrac{S}{6} = \dfrac{18}{6} = 3.$$ Отсюда $$a = \sqrt{3}.$$

Шаг 3. Подставим найденное ребро в формулу диагонали куба: $$d = a\sqrt{3} = \sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{9} = 3.$$

Ответ: $d = 3$.

Здесь удобно заметить хитрость: если сразу подставить $a^2 = 3$ в формулу $d^2 = 3a^2$ (возведя формулу диагонали в квадрат), вычисления становятся ещё короче: $$d^2 = 3a^2 = 3\cdot 3 = 9 \quad \Rightarrow \quad d = 3.$$ Этот приём — работать с квадратами величин, не извлекая корень раньше времени — часто ускоряет решение и снижает риск ошибки в арифметике с иррациональными числами.

Пример 2. Объём куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

Шаг 1. Дано: $V = 8$. Нужно найти площадь поверхности $S$.

Шаг 2. Найдём ребро куба из формулы объёма: $$V = a^3 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{8} = 2.$$

Шаг 3. Подставим ребро в формулу площади поверхности: $$S = 6a^2 = 6\cdot 2^2 = 6\cdot 4 = 24.$$

Ответ: $S = 24$.

Оба примера показывают одну и ту же логику: сначала находим ребро куба из данной величины, затем подставляем его в формулу искомой величины. Разница только в том, какую формулу и какой корень (квадратный или кубический) нужно применить на промежуточном шаге.

Типичные ошибки

Путаница между диагональю куба и диагональю грани. Диагональ грани равна $a\sqrt{2}$, а диагональ куба — $a\sqrt{3}$. Это разные отрезки: первый лежит в плоскости одной грани, второй соединяет противоположные вершины куба через его внутреннюю часть. Нужно чётко читать условие: если сказано «диагональ куба» — используется $\sqrt{3}$, если «диагональ грани» или «диагональ боковой поверхности» — $\sqrt{2}$.

Ошибки при извлечении корней. Часто школьники забывают, что из площади поверхности ребро находится через квадратный корень $a=\sqrt{S/6}$, а из объёма — через кубический корень $a=\sqrt[3]{V}$. Перепутав эти операции, получают неверное значение ребра и, как следствие, неверный итоговый ответ.

Неверная формула площади поверхности. Иногда путают площадь одной грани $a^2$ с площадью всей поверхности $6a^2$. Важно всегда проверять, спрашивается ли в задаче именно полная площадь поверхности куба или площадь одной его грани.

Пропуск возведения в квадрат/куб. При работе с иррациональными числами (например, $a=\sqrt{3}$) легко забыть, что $a^2 = 3$, а не $\sqrt{3}$ в квадрате как отдельное неупрощённое выражение. Полезно сразу упрощать степени корней, чтобы не потерять значение при дальнейших вычислениях.

Досрочное округление. Так как в задании 3 ответ почти всегда целое число, преждевременное округление промежуточных иррациональных значений (например, $\sqrt{3}\approx 1{,}73$) может привести к неточному, но «похожему на правильный» ответу. Лучше работать с точными значениями и корнями до последнего шага, а не переходить к десятичным дробям.

На что обратить внимание на экзамене

При решении задачи на куб на экзамене стоит придерживаться нескольких простых правил.

Во-первых, всегда явно выписывайте, что дано и что нужно найти, прежде чем браться за формулы. Это помогает избежать путаницы между диагональю грани и диагональю куба, а также между площадью грани и полной площадью поверхности.

Во-вторых, работайте по универсальной схеме «дано → ребро → искомое», не пытаясь искать прямые связи между величинами напрямую по памяти — так проще не ошибиться в коэффициентах.

В-третьих, если в промежуточных вычислениях появляется корень, старайтесь работать с квадратами величин (например, находить $a^2$ вместо $a$, если в конце всё равно нужен $d^2$ или похожая величина), чтобы не иметь дела с громоздкими иррациональными числами дольше необходимого.

В-четвёртых, помните, что ответ в задании 3 почти всегда — целое число или простая дробь. Если в результате вычислений получается «некрасивое» число с длинным корнем, это сигнал перепроверить формулу или арифметику.

Наконец, не забывайте перечитать вопрос задачи ещё раз перед записью ответа: иногда после нахождения ребра легко «забыть», что именно требовалось найти, и записать в ответ промежуточное значение (например, само ребро вместо диагонали или объёма).