Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Куб

Обозначим ребро куба как $a$.

Шаг 1. Вспомним основные формулы для куба:

• Объём: $V = a^3$
• Пространственная диагональ: $d = a\sqrt{3}$

Диагональ куба — это отрезок, соединяющий два противоположных вершины, она проходит через его центр.

Шаг 2. Из условия известно, что $V = 24\sqrt{3}$. Значит: $$a^3 = 24\sqrt{3}$$

Шаг 3. Выразим диагональ через объём. Подставим $d = a\sqrt{3}$ в степень три: $$d^3 = (a\sqrt{3})^3 = a^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = a^3 \cdot 3\sqrt{3}$$

Шаг 4. Подставим $a^3 = 24\sqrt{3}$: $$d^3 = 24\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 72 \cdot 3 = 216$$

Шаг 5. Найдём диагональ: $$d = \sqrt[3]{216} = 6$$

Проверка: если $d = 6$, то $a = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$, откуда $V = (2\sqrt{3})^3 = 8 \cdot 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ ✓