Задача 27061. Куб

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.3.2 Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипедеПлощадь поверхности куба

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

В подтеме 15 задач

Разбор

Главная идея: Изменение площади поверхности куба выражается через разность двух формул:

6(a+1)^2 - 6a^2 = 12a + 6

, это линейное выражение приравнивается к 54.

Обозначим ребро куба как $a$ .

Шаг 1. Вспомним формулу площади поверхности куба: $S_0 = 6a^2$ (куб имеет 6 квадратных граней со стороной $a$ ).

Шаг 2. После увеличения ребра на 1 новое ребро становится $a+1$ . Новая площадь поверхности: $S = 6(a+1)^2$

Шаг 3. Раскроем скобки: $S = 6(a^2 + 2a + 1) = 6a^2 + 12a + 6$

Шаг 4. Найдём увеличение площади поверхности: $\Delta S = S - S_0 = (6a^2 + 12a + 6) - 6a^2 = 12a + 6$

Заметьте: при раскрытии скобок слагаемое $6a^2$ сокращается, так что остаётся только линейная часть по $a$ .

Шаг 5. По условию увеличение равно 54: $12a + 6 = 54$

Шаг 6. Решаем уравнение: $12a = 48$ $a = 4$

Проверка: При $a = 4$ исходная площадь $S_0 = 6 \cdot 16 = 96$ . Новая площадь $S = 6 \cdot 25 = 150$ . Разность: $150 - 96 = 54$ ✓

Забыли раскрыть скобку $(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$ , неправильно получив вместо $12a+6$ какое-то другое выражение
Забыли умножить на коэффициент 6 перед скобками и работали только с $(a+1)^2 - a^2$
Решили уравнение $12a + 6 = 54$ неправильно, например получив $a = 3$ вместо $a = 4$

Ещё задачи этой подтемы