Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Куб

Начнём с соотношения между диагональю куба и его ребром.

Пусть ребро куба равно $a$. Диагональ куба — это отрезок, соединяющий две противоположные вершины, проходящий через внутреннее пространство. Если рассмотреть прямоугольный параллелепипед с рёбрами $a$, $a$, $a$, то диагональ находится по формуле: $d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

По условию диагональ куба равна $\sqrt{12}$. Составим уравнение: $$a\sqrt{3} = \sqrt{12}$$

Выразим $a$: $$a = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$$

Упростим дробь. Заметим, что $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$: $$a = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$$

Теперь найдём объём куба. Объём куба вычисляется по формуле $V = a^3$: $$V = 2^3 = 8$$