Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Куб

Шаг 1. Связь между диагональю куба и его стороной

В кубе со стороной $a$ диагональ (отрезок, соединяющий два противоположных по пространству вершины) проходит через три рёбра, образуя пространственную диагональ. По теореме Пифагора в прямоугольном параллелепипеде (к которому относится куб): $$d = a\sqrt{3}$$

Это следует из того, что диагональ куба, сторона куба и диагональ его грани образуют прямоугольный треугольник.

Шаг 2. Находим сторону куба

Дано, что $d = 1$. Подставляем в формулу: $$1 = a\sqrt{3}$$ $$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 3. Вычисляем площадь поверхности

Куб имеет 6 граней, каждая из которых — квадрат со стороной $a$. Площадь поверхности: $$S = 6a^2 = 6 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$$