Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Куб

Обозначим ребро куба через $a$.

Шаг 1. Выразим ребро через площадь поверхности.

Площадь поверхности куба состоит из 6 одинаковых квадратных граней со стороной $a$: $$S = 6a^2$$

По условию $S = 128$, поэтому: $$6a^2 = 128$$ $$a^2 = \frac{128}{6} = \frac{64}{3}$$

Шаг 2. Найдём диагональ куба.

Диагональ куба (она же пространственная диагональ) соединяет два противоположных вершины. Её длину можно найти через теорему Пифагора в пространстве. Если мысленно построить прямоугольный треугольник, где катеты — это диагональ основания и высота куба, получим:

• Диагональ основания (квадрата со стороной $a$): $a\sqrt{2}$
• Высота куба: $a$
• Диагональ куба: $d = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Шаг 3. Подставим значение $a^2$.

$$d = a\sqrt{3} = \sqrt{3a^2} = \sqrt{3 \cdot \frac{64}{3}} = \sqrt{64} = 8$$