Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Куб

Обозначим ребро исходного куба как $a$. Его объём $V_0 = a^3$.

После увеличения каждого ребра на 1 новое ребро становится $a + 1$, а новый объём $V = (a+1)^3$.

По условию объём увеличился на 19, поэтому: $$V - V_0 = 19$$ $$(a+1)^3 - a^3 = 19$$

Раскроем куб суммы $(a+1)^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1$: $$a^3 + 3a^2 + 3a + 1 - a^3 = 19$$ $$3a^2 + 3a + 1 = 19$$ $$3a^2 + 3a - 18 = 0$$

Поделим на 3: $$a^2 + a - 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение через разложение или дискриминант. Ищем два числа, произведение которых $-6$, а сумма $1$: это 3 и $-2$. $$(a + 3)(a - 2) = 0$$

Отсюда $a = -3$ или $a = 2$.

Так как ребро куба — положительная длина, $a = 2$.