Задача 315130. Куб

Введём систему координат с началом в вершине $A$ куба. Пусть сторона куба равна 2 (для удобства, так как работаем с серединами рёбер).

Найдём координаты точек:

• $K$ — середина $AA_1$: $K = (0, 0, 1)$
• $L$ — середина $A_1D_1$: $L = (0, 1, 2)$
• $M$ — середина $A_1B_1$: $M = (1, 0, 2)$

Вычислим длины сторон треугольника $LKM$:

$KM = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$

$KL = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$

$LM = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$

Все три стороны равны $\sqrt{2}$, следовательно, треугольник $LKM$ равносторонний.

Определение угла:

В равностороннем треугольнике все углы равны $60°$.

Следовательно, $\angle MLK = 60°$.