Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Куб

Рассмотрим куб с ребром 6. Возьмём одну вершину и три ребра, из неё выходящих. По условию плоскость проходит через середины двух из этих рёбер и параллельна третьему.

Пусть из вершины куба выходят три взаимно перпендикулярных ребра вдоль осей координат. Обозначим середины двух ребер точками на расстоянии 3 от вершины. Плоскость, проходящая через эти две точки и параллельная третьему ребру, отсекает от куба треугольную призму.

Основание этой призмы — треугольник. Его вершины находятся на рёбрах куба: две в серединах ребер (на расстоянии 3 от начальной вершины) и одна в самой вершине куба. Это прямоугольный треугольник с катетами длины 3 и 3.

Площадь основания призмы: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,5$

Высота призмы равна длине третьего ребра куба, то есть $h = 6$.

Объём призмы: $$V = S_{осн} \cdot h = 4,5 \cdot 6 = 27$$

Альтернативный подход: объём куба равен $6^3 = 216$. Площадь основания призмы составляет $\frac{1}{8}$ площади квадратного сечения куба (так как треугольник с катетами 3 и 3 в 8 раз меньше квадрата со стороной 6). При одинаковой высоте объём призмы в 8 раз меньше: $216 : 8 = 27$.