Объём составного многогранника: задание 3 профильного ЕГЭ

О чём эта подтема

В задании 3 ЕГЭ профильного уровня часто встречаются многогранники, которые не являются «стандартными» телами — не кубом, не призмой целиком, не пирамидой. Вместо этого на рисунке изображено тело, собранное из нескольких простых частей: прямоугольных параллелепипедов, кубов или их сочетаний. Такие фигуры называют составными многогранниками. Задача — найти их объём, используя рисунок (часто на клетчатой сетке, где сторона клетки равна единице) и данные о форме тела.

Особенность подтемы в том, что вычисления здесь предельно простые — умножение и сложение чисел, — а вся сложность сосредоточена в другом: нужно правильно «увидеть», из каких простых частей состоит тело, и не запутаться при разбиении или подсчёте. Это задание не про сложную формулу, а про аккуратную геометрическую логику и внимательность к рисунку.

Что нужно знать

Для решения задач этой подтемы достаточно небольшого набора фактов.

1. Объём прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$, $c$: $$V = a\cdot b\cdot c.$$

2. Объём куба с ребром $a$: $$V = a^3.$$ В частности, если ребро единичного куба равно $1$, то его объём равен $1$.

3. Свойство аддитивности объёма. Если тело разбито на несколько частей, которые не перекрываются (пересекаются только по границе — граням, рёбрам, точкам), то объём всего тела равен сумме объёмов этих частей: $$V = V_1 + V_2 + \dots + V_n.$$

4. Метод дополнения. Иногда удобнее не складывать части, а взять «объемлющий» параллелепипед (наименьший прямоугольный параллелепипед, который целиком содержит фигуру), вычислить его объём, а затем вычесть объёмы тех кусков, которых не хватает до полной фигуры: $$V_{\text{фигуры}} = V_{\text{объемлющего тела}} - \sum V_{\text{вырезанных частей}}.$$

5. Условие «все двугранные углы прямые» означает, что все грани многогранника параллельны одной из трёх координатных плоскостей, а все рёбра — одной из трёх координатных осей. Это гарантирует, что такое тело всегда можно разрезать на прямоугольные параллелепипеды (возможно, разных размеров), не прибегая к наклонным сечениям.

6. Работа с клетчатым рисунком. В большинстве задач тело изображено на фоне клетчатой сетки, и сторона одной клетки принимается за единицу длины (если не сказано иное). Размеры частей тела определяются простым подсчётом клеток по каждому направлению — вдоль, в глубину и по высоте.

7. Подсчёт кубов в теле, состоящем из единичных кубов. Если многогранник явно собран из одинаковых кубиков (например, «пространственный крест»), объём равен просто количеству кубиков, составляющих фигуру, — умножать ничего не нужно, поскольку объём каждого кубика равен единице.

Больше никаких специальных формул (боковая поверхность, теорема синусов, тригонометрия) в этой подтеме не требуется — упор именно на разложение фигуры и аккуратный счёт.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач на объём составного многогранника такой:

Шаг 1. Понять устройство тела. Посмотрите на рисунок и определите, из каких «блоков» состоит фигура. Если сказано, что все двугранные углы прямые, — ищите прямоугольные параллелепипеды-«кирпичики», из которых можно собрать всё тело без наклонных срезов.

Шаг 2. Выбрать удобный способ.

• Если фигуру легко представить как объединение непересекающихся кусков — используйте метод разбиения (сложение объёмов).
• Если фигуру легче представить как «полный» параллелепипед с вырезанным углом или уступом — используйте метод дополнения (вычитание).

Оба метода дают один и тот же ответ, поэтому выбирайте тот, где проще определить размеры частей.

Шаг 3. Определить размеры каждой части. По клеткам рисунка (или по подписанным длинам) найдите три размера каждого параллелепипеда: длину, ширину и высоту. Будьте внимательны: направление «высоты» на рисунке не всегда совпадает с вертикалью на листе — ориентируйтесь по осям самого тела.

Шаг 4. Посчитать объём каждой части по формуле $V = a\cdot b\cdot c$ (или объём куба $a^3$, если часть — куб).

Шаг 5. Сложить (или вычесть) объёмы частей, чтобы получить объём всей фигуры.

Шаг 6. Проверить результат. Убедитесь, что части действительно не перекрываются (иначе объём общей зоны будет посчитан два раза) и что вы не забыли ни одну часть фигуры. Хорошая проверка — оценить фигуру «на глаз»: если тело явно меньше единичного куба со стороной 3 (объём 27), а у вас получилось 30, — где-то ошибка.

Если тело состоит из одинаковых единичных кубов (например, «крест» или «уголок»), шаги 3–5 можно заменить прямым подсчётом количества кубиков — это и есть объём фигуры.

Разбор примера

Пример 1. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого прямые. Нужно найти его объём.

Поскольку все двугранные углы прямые, тело можно разложить на прямоугольные параллелепипеды без наклонных срезов. По рисунку (клетки единичные) видно, что фигура представляет собой ступенчатое тело: нижняя часть — прямоугольный параллелепипед с рёбрами $3$, $2$ и $1$, а на нём сверху со смещением стоит меньший параллелепипед с рёбрами $1$, $1$ и $2$. Границы этих двух частей не пересекаются внутри тела — они соединяются только по общей грани, значит, можно применить метод разбиения.

Шаг 1. Вычисляем объём нижней (большой) части: $$V_1 = 3\cdot 2\cdot 1 = 6.$$

Шаг 2. Вычисляем объём верхней (маленькой) части: $$V_2 = 1\cdot 1\cdot 2 = 2.$$

Шаг 3. Складываем объёмы, так как части не перекрываются: $$V = V_1 + V_2 = 6 + 2 = 8.$$

Ответ: $V = 8$.

Здесь важно отметить общий принцип: даже если фигура выглядит непривычно, наличие только прямых двугранных углов сразу говорит о том, что перед нами объединение «кирпичиков» — прямоугольных параллелепипедов, а вся работа сводится к правильному определению их размеров по рисунку и сложению объёмов.

Пример 2. На рисунке изображён «пространственный крест», составленный из единичных кубов. Нужно найти его объём.

Пространственный крест — это фигура, которую получают, если взять один центральный кубик и приставить к каждой из его шести граней ещё по одному такому же кубику. Визуально такая фигура похожа на развёртку куба, но собранную не в плоскости, а в пространстве: из центра «крест» выступает в шести направлениях — вверх, вниз, вправо, влево, вперёд и назад.

Шаг 1. Считаем, из скольких единичных кубов состоит фигура. Один центральный куб плюс по одному кубу на каждую из шести граней: $$1 + 6 = 7.$$

Шаг 2. Так как все кубы единичные, объём каждого равен $1$, и по свойству аддитивности объём всей фигуры равен сумме объёмов всех кубов: $$V = 7 \cdot 1 = 7.$$

Ответ: $V = 7$.

Здесь ключевая идея — не пытаться придумывать сложную формулу, а просто аккуратно посчитать количество «строительных блоков» фигуры. Ошибка чаще всего возникает не в вычислениях, а в подсчёте: легко забыть центральный куб (он «скрыт» внутри фигуры и не всегда явно виден на рисунке) или, наоборот, посчитать какой-то куб дважды, если несколько выступов рисунка сходятся в одной точке обзора.

Типичные ошибки

• Пересечение частей при разбиении. Если разбить фигуру на части так, что они перекрываются (общий объём кусков больше объёма самой фигуры), сумма объёмов окажется завышенной. Перед сложением всегда проверяйте, что части соприкасаются только по границе, а не «залезают» друг в друга.

• Пропуск скрытых частей. В трёхмерных фигурах, особенно в кресте или ступеньке, часть кубов или блоков может быть не видна на плоском изображении (закрыта другими частями). Нужно мысленно «прокрутить» фигуру и убедиться, что все составляющие учтены.

• Неверное определение размеров по клеткам. При подсчёте клеток легко ошибиться на единицу — посчитать не количество клеток, а количество линий сетки (границ), что даёт размер на единицу больше или меньше истинного.

• Путаница в направлении осей. На плоском рисунке трёхмерного тела «высота» иногда изображается не вертикальной линией, а диагональной (для передачи объёма), и её легко перепутать с длиной или шириной. Ориентируйтесь по параллельным рёбрам фигуры, а не по расположению линии на листе.

• Забытое вычитание при методе дополнения. Если выбран способ «от большого параллелепипеда вычесть недостающие части», важно вычесть все вырезанные куски, а не только один — иначе объём получится завышенным.

• Ошибка в самой формуле объёма. Иногда путают объём параллелепипеда с площадью его грани или считают произведение только двух измерений вместо трёх — такая ошибка сразу даёт неверную размерность результата.

• Неправильный подсчёт кубов в фигурах типа «крест». Часто забывают центральный кубик (кажется, что «крест» состоит только из шести выступов) или, наоборот, пересчитывают выступающие кубы дважды из-за оптической путаницы на рисунке.

На что обратить внимание на экзамене

• Не начинайте вычисления, пока не поняли полностью, из каких простых частей состоит тело — потратьте время на «расшифровку» рисунка, это важнее скорости счёта.
• Проверяйте масштаб: если явно не указано другое, сторона клетки на рисунке равна единице, но условие может задать иной масштаб — читайте текст задачи внимательно.
• Используйте оба метода как самоконтроль: если время позволяет, посчитайте объём и через разбиение, и через дополнение — совпадение результатов подтвердит правильность ответа.
• Помните, что итоговый ответ в таких задачах почти всегда — целое число или простая дробь; если получилось громоздкое выражение с корнями, скорее всего где-то допущена ошибка в разбиении фигуры.
• Перед записью ответа мысленно «соберите» фигуру заново из найденных частей и убедитесь, что они действительно образуют исходное тело без пропусков и наложений.
• Если фигура похожа на объединение кубов (крест, уголок, лестница), самый надёжный способ — прямой подсчёт количества единичных кубов, а не вычисление через формулы объёма.