ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Объем составного многогранника

Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Объем составного многогранника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

В подтеме 17 задач
Разбор
Главная идея: Составной многогранник с прямыми двугранными углами всегда можно разбить на непересекающиеся прямоугольные параллелепипеды и найти объём как сумму их объёмов.

Многогранник, изображённый на рисунке, можно разбить на два прямоугольных параллелепипеда, поскольку все его двугранные углы прямые.

Первый параллелепипед имеет размеры: длина 2, ширина 3, высота 1. Его объём: V1=2⋅3⋅1=6V_1 = 2 \cdot 3 \cdot 1 = 6

Второй параллелепипед — это меньший «выступ», его размеры: 1 × 1 × 1. Объём: V2=1⋅1⋅1=1V_2 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1

Поскольку эти параллелепипеды не пересекаются (выступ расположен на одной из граней основного прямоугольника), полный объём многогранника равен сумме их объёмов: V=V1+V2=6+1=7V = V_1 + V_2 = 6 + 1 = 7

Этот способ работает потому, что прямые двугранные углы гарантируют, что любое сечение, перпендикулярное одному из направлений, будет союзом неперекрывающихся прямоугольников — то есть фигура действительно разлагается на прямоугольные блоки без «пустот» и «наложений».

Типичные ошибки

  • Забыли про меньший выступ и посчитали только объём основного параллелепипеда — получили 6 вместо 7.
  • Неправильно определили размеры параллелепипедов, спутав длины рёбер на разных участках многогранника.
  • Вычтение вместо сложения: ошибочно считали, что выступ нужно вычитать из большого прямоугольника.
Непонятно?

Похожие задачи