Призма в задании 3 ЕГЭ: формулы объёма и площади, разбор примеров

О чём эта подтема

Задание 3 профильного ЕГЭ по стереометрии — это простая на первый взгляд, но требующая аккуратности задача на вычисление элемента геометрического тела: объёма, площади поверхности, длины ребра или высоты. Призма — одна из самых частых фигур в этом задании наряду с параллелепипедом, цилиндром, конусом и пирамидой.

В отличие от заданий 14 и 16, здесь не нужно доказывать перпендикулярность или строить сечения — достаточно знать формулы и уметь их применять к конкретным числам. Часто задачи на призму формулируются как практические сюжеты: лёд, вода в сосуде, изменение размеров фигуры при сохранении объёма. Такие задачи проверяют не только знание формул, но и умение переводить текст на язык математики.

Что нужно знать

Призма — это многогранник, у которого два основания — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Основная формула, которая нужна почти всегда: $$V=S_{\text{осн}}\cdot h,$$ где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, $h$ — высота призмы (расстояние между плоскостями оснований, а не длина бокового ребра, если призма наклонная).

Для прямой призмы высота равна длине бокового ребра. В заданиях 3 почти всегда встречаются именно прямые призмы, часто ещё и правильные.

Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Нужно помнить площади правильных многоугольников со стороной $a$:

• равносторонний треугольник: $S=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$;
• квадрат: $S=a^2$;
• правильный шестиугольник (состоит из 6 равносторонних треугольников): $S=\dfrac{3\sqrt3}{2}a^2$.

Для прямоугольного параллелепипеда (частный случай призмы) объём: $$V=abc,$$ где $a,b,c$ — длины рёбер.

Площадь боковой поверхности прямой призмы: $$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h,$$ где $P_{\text{осн}}$ — периметр основания.

Площадь полной поверхности: $$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}.$$

Отдельный важный тип задач — про сосуды с водой и про переплавку/переливание вещества. Здесь работает физический принцип: объём вещества не меняется, если оно не расширяется и не сжимается (лёд, вода, металл при переплавке). Это позволяет составить уравнение $V_1=V_2$ даже без явного упоминания слова «объём» в условии.

Ещё одна идея, которая часто нужна: если в сосуд-призму с известной площадью основания налили жидкость и уровень поднялся на $\Delta h$, то дополнительный объём равен $$\Delta V=S_{\text{осн}}\cdot \Delta h.$$ Это справедливо, потому что горизонтальное сечение призмы на любой высоте имеет одну и ту же площадь основания.

Как решать: метод и алгоритм

1. Определите тип призмы — правильная, прямая, наклонная, прямоугольный параллелепипед. От этого зависит, какую формулу площади основания использовать.
2. Выпишите известные величины: сторону основания, высоту, объём, площадь поверхности — то, что дано в условии.
3. Определите, что является неизвестным и через какую формулу оно связано с известными величинами.
4. Если в задаче фигурирует изменение формы при сохранении вещества (переплавка льда, металла), составьте уравнение равенства объёмов: $$V_{\text{до}}=V_{\text{после}}.$$
5. Если в задаче речь идёт о сосуде с жидкостью и погружённом теле, используйте идею: объём вытесненной жидкости равен объёму погружённого тела, а объём вытесненной жидкости считается через площадь основания сосуда и изменение уровня: $$V_{\text{тела}}=S_{\text{осн сосуда}}\cdot(h_2-h_1).$$
6. Подставьте числа, аккуратно проведите алгебраические преобразования — часто общий множитель (например, $\sqrt3\,a^2$) сокращается, и уравнение сильно упрощается.
7. Проверьте размерность ответа и его правдоподобность (высота не может быть отрицательной, объём — тоже).

Главная ловушка этой подтемы — спутать высоту призмы с боковым ребром (актуально для наклонных призм) или неправильно посчитать площадь основания сложного многоугольника. Второй частый источник ошибок — неверное применение принципа сохранения объёма, когда путают, что именно остаётся постоянным.

Разбор примера

Пример 1.

Условие: кусок льда представляет собой правильную шестиугольную призму высотой 18 см. Его расплавили и снова заморозили так, чтобы получилась правильная треугольная призма, сторона основания которой в 2 раза больше стороны основания исходной. Найти высоту новой призмы.

Шаг 1. Объём исходной призмы.

Пусть сторона основания шестиугольной призмы равна $a$. Площадь правильного шестиугольника состоит из 6 равносторонних треугольников со стороной $a$: $$S_1=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3}{2}a^2.$$ Высота призмы дана — 18 см, значит $$V_1=S_1\cdot 18=\frac{3\sqrt3}{2}a^2\cdot 18=27\sqrt3\,a^2.$$

Шаг 2. Объём новой призмы.

Новая призма — правильная треугольная, сторона её основания равна $2a$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $2a$: $$S_2=\frac{(2a)^2\sqrt3}{4}=\sqrt3\,a^2.$$ Если высота новой призмы равна $h$, то $$V_2=\sqrt3\,a^2\cdot h.$$

Шаг 3. Применяем сохранение объёма.

Масса льда не изменилась, плотность тоже, значит объём воды в твёрдом состоянии остался тем же: $V_1=V_2$: $$\sqrt3\,a^2\cdot h=27\sqrt3\,a^2.$$ Обе части делятся на $\sqrt3\,a^2$ (эта величина не равна нулю), получаем: $$h=27.$$

Ответ: 27 см.

Важный методический момент: значение $a$ вообще не нужно было находить — оно сократилось. Это типичная ситуация в задачах на переплавку: сторона основания задаётся буквой, и в итоге все буквенные множители взаимно уничтожаются.

Пример 2.

Условие: в сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300 см³ воды, и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найти объём детали.

Шаг 1. Найдём площадь основания сосуда.

Сосуд имеет форму правильной треугольной призмы, значит его горизонтальное сечение на любой высоте — треугольник, равный основанию, с постоянной площадью $S$. Объём воды до погружения детали равен произведению площади основания на высоту уровня воды: $$V_{\text{воды}}=S\cdot h_1.$$ Подставляем известные числа: $V_{\text{воды}}=2300$ см³, $h_1=25$ см: $$2300=S\cdot 25 \ \Rightarrow\ S=\frac{2300}{25}=92\ \text{см}^2.$$

Шаг 2. Найдём объём детали через изменение уровня воды.

Когда в сосуд погрузили деталь, вода поднялась до отметки 27 см — вода как бы «вытеснилась» деталью и заняла дополнительный слой высотой $\Delta h=27-25=2$ см. Объём этого слоя равен объёму погружённой детали (при условии, что деталь полностью под водой, что следует из условия): $$V_{\text{детали}}=S\cdot\Delta h=92\cdot 2=184\ \text{см}^3.$$

Ответ: 184 см³.

Здесь ключевая идея — использовать тот факт, что сечение призмы одинаково на любой высоте, поэтому объём столбика воды между двумя уровнями считается так же просто, как объём самой призмы: площадь основания умножить на высоту столбика.

Типичные ошибки

• Путаница между высотой призмы и боковым ребром. Для прямой призмы это одно и то же, но в общем случае (наклонная призма) высота — это перпендикулярное расстояние между основаниями, а не длина ребра.
• Неверный расчёт площади правильного шестиугольника. Часто забывают множитель 6 или путают формулу с площадью одного треугольника.
• Забывают, что сохраняется именно объём, а не площадь основания или высота. При переплавке льда/металла в другую форму нельзя переносить линейные размеры — нужно приравнивать именно объёмы.
• Ошибка в направлении изменения уровня воды. Нужно внимательно смотреть, растёт уровень (тело погружают) или падает (тело вынимают), и правильно вычислять $\Delta h$.
• Забывают, что деталь может быть погружена не полностью. Если это не оговорено явно и следует из физического смысла задачи, стоит перепроверить условие — но в задании 3 обычно подразумевается полное погружение.
• Арифметические ошибки при работе с $\sqrt3$. Стоит группировать иррациональные множители и сокращать их до подстановки чисел, а не после.

На что обратить внимание на экзамене

Задание 3 — это задача на 1 балл, и она должна решаться быстро, за 2–3 минуты. Прежде чем считать, чётко определите тип призмы и то, что именно требуется найти — объём, площадь, ребро или высоту. Если в условии фигурирует бытовой сюжет (лёд, вода, сосуд), сразу подумайте, какой физический закон здесь скрыт: чаще всего это сохранение объёма или связь объёма с площадью основания и высотой столбика жидкости.

При вычислении площадей правильных многоугольников держите под рукой формулы для треугольника, квадрата и шестиугольника — их полезно помнить наизусть, чтобы не тратить время на вывод во время экзамена. Также заранее решите для себя, что деление на общий буквенный множитель (например, $a^2$) — это нормальный и ожидаемый шаг в задачах на переплавку, не нужно бояться, что «неизвестная не найдена явно» — если она сокращается, значит, задача устроена именно так.

Наконец, всегда проверяйте единицы измерения и правдоподобность численного ответа: высота или объём не могут получиться отрицательными или неправдоподобно большими для заданного контекста.