[рисунок] В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 9, AD = 12, AA1 = 18. Найдите синус угла между прямыми A1D1 и AC.

ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Призма

Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.2 Угол между прямыми в пространстве; угол между прямой и плоскостью

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB  =  9, AD  =  12, AA₁  =  18. Найдите синус угла между прямыми A₁D₁ и AC.

В подтеме 51 задач

Разбор

Главная идея: Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им пересекающимися прямыми; используем то, что диагональ основания и боковое ребро образуют в основании прямоугольный треугольник.

Шаг 1. Найдём угол между прямыми.

Прямые $A_1D_1$ и $AC$ — скрещивающиеся. Чтобы найти угол между ними, используем параллельный перенос: заменяем $A_1D_1$ на параллельную ей прямую, проходящую через точку $A$ . Так как $A_1D_1 \parallel AD$ (противоположные рёбра прямоугольного параллелепипеда), угол между $A_1D_1$ и $AC$ равен углу $\widehat{DAC}$ в треугольнике $DAC$ .

Шаг 2. Определим размеры в основании.

В основании параллелепипеда — прямоугольник $ABCD$ с сторонами $AB = 9$ и $AD = 12$ . Диагональ основания: $AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$

Шаг 3. Найдём синус угла в прямоугольном треугольнике.

В треугольнике $DAC$ :

угол при $A$ прямой (так как $ABCD$ — прямоугольник)
$AD = 12$ — один катет
$AB = CD = 9$ — другой катет (противоположная сторона)
$AC = 15$ — гипотенуза

Синус угла $\widehat{DAC}$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin(\widehat{DAC}) = \frac{CD}{AC} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0,6$

Типичные ошибки

Путают, какой катет противолежит углу: нужен $AB = CD$ , а не $AD$
Забывают, что $A_1D_1 \parallel AD$ , и ищут угол неправильно
Вычисляют косинус вместо синуса или берут обратное отношение

Непонятно?

Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Типичные ошибки

Похожие задачи