Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле:

$$V = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot H$$

где $a$ — сторона основания, $H$ — высота призмы.

Вода — несжимаемая жидкость, поэтому её объём остаётся неизменным при переливании.

Первый сосуд: сторона основания $a_1$, высота воды $H_1 = 80$ см.

$$V_{воды} = \frac{\sqrt{3}}{4}a_1^2 \cdot 80$$

Второй сосуд: сторона основания $a_2 = 4a_1$, высота воды $H_2$ — неизвестна.

$$V_{воды} = \frac{\sqrt{3}}{4}(4a_1)^2 \cdot H_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16a_1^2 \cdot H_2$$

Приравниваем объёмы:

$$\frac{\sqrt{3}}{4}a_1^2 \cdot 80 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16a_1^2 \cdot H_2$$

Сокращаем $\frac{\sqrt{3}}{4}a_1^2$:

$$80 = 16H_2$$

$$H_2 = \frac{80}{16} = 5 \text{ см}$$

Высота уменьшилась в 16 раз, потому что площадь основания увеличилась в $4^2 = 16$ раз.