ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Призма

Задача 27104. Призма

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы

Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60°. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60° и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.

В подтеме 51 задач
Разбор
Главная идея: Объем параллелепипеда равен произведению площади основания (ромба с заданными параметрами) на высоту, которую находим как произведение длины бокового ребра на синус угла между ребром и плоскостью основания.

Объем параллелепипеда находится по формуле V=Sосн⋅HV = S_{\text{осн}} \cdot H, где SоснS_{\text{осн}} — площадь основания, HH — высота.

Шаг 1: Выбираем основание. Примем ромб за основание параллелепипеда. Его сторона равна 1, острый угол равен 60°.

Шаг 2: Находим площадь ромба. Площадь ромба вычисляется по формуле S=a2sin⁡θS = a^2 \sin \theta, где aa — сторона, θ\theta — острый угол ромба. Sосн=12⋅sin⁡60°=32S_{\text{осн}} = 1^2 \cdot \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}

Шаг 3: Определяем высоту параллелепипеда. Боковое ребро длины L=2L = 2 составляет с плоскостью основания угол α=60°\alpha = 60°. Высота параллелепипеда — это перпендикуляр из верхнего основания на нижнее, и она равна проекции бокового ребра на нормаль к основанию: H=Lsin⁡α=2sin⁡60°=2⋅32=3H = L \sin \alpha = 2 \sin 60° = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}

Шаг 4: Вычисляем объем. V=Sосн⋅H=32⋅3=32=1,5V = S_{\text{осн}} \cdot H = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2} = 1,5

Типичные ошибки

  • Спутать площадь ромба с площадью прямоугольника (не применить синус угла ромба)
  • Принять боковое ребро за высоту, забыв про угол 60° между ребром и основанием
  • Неправильно вычислить синусы: использовать sin⁡60°=12\sin 60° = \frac{1}{2} вместо sin⁡60°=32\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}

Ещё задачи этой подтемы