Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Шаг 1. Определим треугольник, в котором ищем угол.

Угол $\angle AD_1D$ лежит в треугольнике $ADD_1$. Это угол при вершине $D_1$, где сходятся ребро призмы $DD_1$ и диагональ $AD_1$ (проведённая из вершины основания к вершине верхнего основания).

Шаг 2. Убедимся, что треугольник прямоугольный.

Треугольник $ADD_1$ прямоугольный с прямым углом при $D$. Это верно потому, что $DD_1$ — вертикальное ребро (перпендикулярно плоскости основания), а $AD$ — отрезок в плоскости основания. Значит, $DD_1 \perp AD$.

Шаг 3. Найдём большую диагональ основания.

Основание — правильный шестиугольник со стороной 1. В правильном шестиугольнике есть три типа отрезков, соединяющих вершины: стороны, «средние» диагонали и большие диагонали (проходящие через центр). Большая диагональ равна удвоенной стороне: $AD = 2 \cdot 1 = 2$. (Это следует из того, что центральный угол между соседними радиусами составляет 60°, и противоположные вершины находятся на расстоянии $2R = 2a$, где $a$ — сторона.)

Шаг 4. Применим определение тангенса.

В прямоугольном треугольнике $ADD_1$ с прямым углом при $D$: $$\tan(\angle AD_1D) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AD}{DD_1} = \frac{2}{1} = 2$$