Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

В правильной шестиугольной призме все рёбра равны $\sqrt{5}$, включая боковые рёбра и стороны оснований.

Чтобы найти расстояние между точками $B$ (на нижнем основании) и $E_1$ (на верхнем основании), заметим, что точки $B$, $B_1$ и $E_1$ образуют прямоугольный треугольник. Угол при вершине $B_1$ прямой, так как боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания.

Шаг 1. Определим $B_1E_1$ — сторону верхнего основания. В правильном шестиугольнике точки $B_1$ и $E_1$ разделены на два вершины (это буквы $C_1$ и $D_1$). Между противоположными вершинами правильного шестиугольника (через центр) расстояние равно двум его сторонам. Поскольку $B$ и $E$ — противоположные вершины нижнего основания, $B_1$ и $E_1$ — противоположные вершины верхнего основания.

Большая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. Значит: $$B_1E_1 = 2\sqrt{5}$$

Шаг 2. Боковое ребро: $BB_1 = \sqrt{5}$.

Шаг 3. Применим теорему Пифагора в треугольнике $BB_1E_1$: $$BE_1 = \sqrt{BB_1^2 + B_1E_1^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{5 + 20} = \sqrt{25} = 5$$