Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми $FA$ и $D_1E_1$, воспользуемся методом параллельного переноса.

Шаг 1. Определим положение рёбер $D_1E_1$ и $DE$. В правильной шестиугольной призме верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельно нижнему основанию $ABCDEF$ и находится точно над ним. Значит, рёбра $D_1E_1$ и $DE$ параллельны между собой.

Шаг 2. Заметим, что $DE$ — сторона нижнего шестиугольника, а $AB$ — соседняя сторона того же шестиугольника. В правильном шестиугольнике все стороны параллельны противоположным сторонам. Проверим: сторона $DE$ параллельна стороне $AB$ (они лежат на параллельных прямых в решётке правильного шестиугольника).

Шаг 3. Если $D_1E_1 \parallel DE$ и $DE \parallel AB$, то $D_1E_1 \parallel AB$.

Шаг 4. Угол между двумя скрещивающимися прямыми равен углу между их параллельными направлениями. Поэтому угол между $FA$ и $D_1E_1$ равен углу между $FA$ и $AB$.

Шаг 5. В правильном шестиугольнике угол при вершине между двумя сторонами (внутренний угол) равен $\frac{(6-2) \cdot 180°}{6} = 120°$. Это угол $\angle FAB = 120°$.

Шаг 6. Угол между прямыми — это острый (или прямой) угол между их направлениями. Смежный с углом $120°$ угол равен $180° - 120° = 60°$. Это и есть искомый угол между прямыми.