Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми FA и D₁E₁, нужно вспомнить определение: угол между двумя скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им прямыми, проведёнными через одну точку.

Шаг 1. Заметим, что рёбро $D_1E_1$ верхнего основания параллельно соответствующему ребру нижнего основания: $D_1E_1 \parallel DE$. Более того, в правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны, поэтому $DE \parallel AB$ (так как они находятся в симметричных позициях относительно центра).

Шаг 2. Следовательно, $D_1E_1 \parallel AB$. Это означает, что угол между прямыми $FA$ и $D_1E_1$ равен углу между прямыми $FA$ и $AB$.

Шаг 3. Рёбра $FA$ и $AB$ — две соседние стороны правильного шестиугольника, исходящие из вершины $A$. Внутренний угол правильного шестиугольника вычисляется по формуле: $\frac{(n-2) \cdot 180°}{n} = \frac{4 \cdot 180°}{6} = 120°$.

Значит, $\angle FAB = 120°$.

Шаг 4. Угол между прямыми — это острый угол между ними. Если два направления образуют угол 120°, то острый угол между ними равен $180° - 120° = 60°$.

Ответ: 60°