Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 1. Нужно найти расстояние между вершинами A нижнего основания и $E_1$ верхнего.

Шаг 1: Определим, где находятся точки. В правильном шестиугольнике вершины расположены циклически: A, B, C, D, E, F. Точка $E_1$ — это вершина верхнего основания, лежащая прямо над E.

Шаг 2: Найдём расстояние $A_1E_1$ в верхнем основании. Оба основания — правильные шестиугольники со стороной 1. В правильном шестиугольнике угол между соседними сторонами равен 120°. От вершины $A_1$ к $E_1$ можно пройти через $F_1$: стороны $A_1F_1 = 1$ и $F_1E_1 = 1$, угол $\angle A_1F_1E_1 = 120°$.

Применим теорему косинусов: $$A_1E_1^2 = A_1F_1^2 + F_1E_1^2 - 2 \cdot A_1F_1 \cdot F_1E_1 \cdot \cos 120°$$

Поскольку $\cos 120° = -\frac{1}{2}$: $$A_1E_1^2 = 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2 + 1 = 3$$ $$A_1E_1 = \sqrt{3}$$

Шаг 3: Найдём расстояние $AE_1$ используя теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1E_1$, где:

• $AA_1 = 1$ (боковое ребро призмы, перпендикулярно основанию)
• $A_1E_1 = \sqrt{3}$ (диагональ в верхнем основании)
• $AE_1$ — гипотенуза

$$AE_1^2 = AA_1^2 + A_1E_1^2 = 1 + 3 = 4$$ $$AE_1 = 2$$