ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Призма

Задача 245365. Призма

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками B и E.

В подтеме 51 задач
Разбор
Главная идея: В правильном шестиугольнике большая диагональ (соединяющая вершины через две промежуточные) равна удвоенной стороне.

В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 1, значит сторона основания и высота призмы одинаковые.

Нужно найти расстояние между точками B и E, которые находятся в одном основании призмы (оба лежат в нижнем шестиугольнике ABCDEFA).

Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEFA со стороной 1. Точки B и E — это не соседние вершины, они разделены двумя вершинами (C и D).

В правильном шестиугольнике есть важное свойство: если провести отрезок между вершинами, пропустив две промежуточные, получится большая диагональ. Такая диагональ равна удвоенной стороне шестиугольника.

Почему это так? Правильный шестиугольник можно разделить на 6 равносторонних треугольников, проведя отрезки из центра O к каждой вершине. Центральный угол каждого треугольника равен 360°/6 = 60°, все стороны от центра до вершины равны радиусу описанной окружности, который совпадает со стороной шестиугольника.

Отрезок BE проходит через центр O, соединяя противоположные по отношению к скольким сторонам вершины. Длина BO = 1 (радиус), OE = 1 (радиус), и они лежат на одной прямой, поэтому BE = BO + OE = 1 + 1 = 2.

Типичные ошибки

  • Спутать большую диагональ шестиугольника с его стороной — забыть удвоение.
  • Ошибочно считать B и E соседними вершинами вместо того, чтобы пересчитать позиции в последовательности A, B, C, D, E, F.
  • Попытаться вычислить расстояние через координаты без знания свойства правильного шестиугольника и получить неверный ответ.

Ещё задачи этой подтемы