Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Нужно найти угол $\angle AC_1C$ в прямоугольном треугольнике $ACC_1$, где $C$ — вершина нижнего основания, $C_1$ — соответствующая вершина верхнего основания, $A$ — другая вершина нижнего основания.

Шаг 1. Определим стороны треугольника $ACC_1$

Треугольник $ACC_1$ прямоугольный с прямым углом в $C$ (боковое ребро перпендикулярно основанию):

• $CC_1 = 1$ (по условию все рёбра равны 1)
• $AC$ — диагональ основания (правильного шестиугольника), её нужно найти
• $AC_1$ — гипотенуза

Шаг 2. Найдём диагональ $AC$ в правильном шестиугольнике

В правильном шестиугольнике внутренние углы равны $\frac{(6-2) \cdot 180°}{6} = 120°$.

Для треугольника $ABC$ (где $A$, $B$, $C$ — три последовательные вершины основания) применим теорему косинусов: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$$ $$AC^2 = 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120°) = 2 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$$ $$AC = \sqrt{3}$$

Шаг 3. Найдём угол $\angle AC_1C$

В прямоугольном треугольнике $ACC_1$: $$\tan(\angle AC_1C) = \frac{AC}{CC_1} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$$

Этому значению тангенса соответствует угол $60°$.