Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Шаг 1: Замена параллельными прямыми

Прямые $AA_1$ и $FF_1$ параллельны, так как это боковые рёбра призмы. Значит, угол между $C_1F$ и $AA_1$ равен углу между $C_1F$ и $FF_1$.

Шаг 2: Найдём длину диагонали основания

В правильном шестиугольнике со стороной 30 нужна диагональ $F_1C_1$. Правильный шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников из центра. Большая диагональ (проходящая через центр) соединяет противоположные вершины и равна удвоенной стороне: $F_1C_1 = 2 \cdot 30 = 60$.

Шаг 3: Рассмотрим треугольник $FF_1C_1$

В этом треугольнике:

• $FF_1 = 30$ (боковое ребро призмы, высота)
• $F_1C_1 = 60$ (диагональ основания)
• Угол $\angle FF_1C_1 = 90°$ (так как боковое ребро перпендикулярно плоскости основания)

Шаг 4: Найдём тангенс угла

Угол между прямыми $C_1F$ и $FF_1$ — это угол $\angle F_1FC_1$ в прямоугольном треугольнике $FF_1C_1$:

$$\tan \angle F_1FC_1 = \frac{F_1C_1}{FF_1} = \frac{60}{30} = 2$$