Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Угол между двумя скрещивающимися прямыми определяется как угол между параллельными им прямыми, которые пересекаются.

Шаг 1: Найдём параллельную прямую. Прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны, так как это боковые рёбра призмы. Значит, угол между $AA_1$ и $BC_1$ равен углу между $BB_1$ и $BC_1$ — они пересекаются в точке $B$.

Шаг 2: Определим форму боковой грани. В правильной треугольной призме все рёбра равны 3. Боковая грань $CBB_1C_1$ — это четырёхугольник с четырьмя сторонами: $CB = 3$ (сторона основания), $BB_1 = 3$ (боковое ребро), $B_1C_1 = 3$ (сторона верхнего основания), $CC_1 = 3$ (боковое ребро). Все стороны равны и углы прямые, поэтому это квадрат со стороной 3.

Шаг 3: Найдём угол в квадрате. Диагональ $BC_1$ соединяет две противоположные вершины квадрата $CBB_1C_1$. Угол между стороной квадрата $BB_1$ и его диагональю $BC_1$ — это угол при вершине $B$ в треугольнике $BB_1C_1$.

В квадрате диагональ делит угол 90° пополам, образуя углы по $45°$ со сторонами.

Ответ: 45°