Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Обозначим исходную треугольную призму с основанием ABC и верхним основанием A₁B₁C₁. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей трёх боковых прямоугольников: $$S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{CAA_1C_1} = 36$$

Плоскость проходит через среднюю линию основания (например, MN, где M — середина AB, N — середина BC) и параллельна боковой грани (например, ABB₁A₁).

Эта плоскость отсекает от исходной призмы меньшую треугольную призму. Её основание — треугольник с вершинами в точках M, N и третьей вершине основания или на стороне.

Ключевое наблюдение: средняя линия делит исходный треугольник в определённом отношении. Плоскость, параллельная боковой грани ABB₁A₁ и проходящая через среднюю линию, пересекает рёбра призмы так, что высота отсечённой части вдвое меньше исходной высоты боковых граней.

Каждая боковая грань отсечённой призмы имеет высоту (длину рёбра основания), которая вдвое меньше соответствующей стороны исходного треугольника. Высота самой призмы остаётся неизменной.

Поэтому площадь каждой боковой грани отсечённой призмы составляет половину от соответствующей грани исходной призмы: $$S'_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18$$