Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Разберёмся, что происходит при таком сечении.

Шаг 1. Понимаем геометрию сечения

Плоскость проходит через среднюю линию основания (она соединяет середины двух сторон треугольника) и параллельна боковому ребру. Эта плоскость отсекает от исходной призмы меньшую треугольную призму.

Шаг 2. Анализируем основания отсечённой призмы

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине: $m = \frac{a}{2}$, где $a$ — длина стороны исходного основания.

Отсечённая призма имеет в основании треугольник со сторонами, пропорциональными исходному (поскольку средняя линия отсекает подобный треугольник). Коэффициент подобия равен $\frac{1}{2}$.

Шаг 3. Связываем площади боковых граней

Каждая боковая грань отсечённой призмы — прямоугольник, где:

• одна сторона — это сторона основания отсечённой призмы (в два раза меньше стороны исходного основания)
• другая сторона — высота призмы $h$ (одна и та же для обеих призм)

Площадь боковой грани отсечённой призмы: $$S_{\text{отсечённой}} = \frac{a}{2} \cdot h = \frac{1}{2}(a \cdot h) = \frac{1}{2}S_{\text{исходной}}$$

Шаг 4. Суммируем по всем боковым граням

Так как каждая из трёх боковых граней отсечённой призмы в два раза меньше соответствующей грани исходной призмы, площадь боковой поверхности отсечённой призмы в два раза меньше площади боковой поверхности исходной: $$S_{\text{бок,отсечённой}} = \frac{1}{2}S_{\text{бок,исходной}}$$

Шаг 5. Находим ответ

$$S_{\text{бок,исходной}} = 2 \cdot S_{\text{бок,отсечённой}} = 2 \cdot 8 = 16$$