Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Обозначим сторону куба как $a$. Из условия $a^3 = 12$.

Понимание конструкции. Из одной вершины куба выходят три ребра. Плоскость проходит через середины двух из них и параллельна третьему ребру. Эта плоскость отсекает от куба треугольную призму.

Определение основания призмы. Пусть из вершины выходят рёбра по осям $x$, $y$, $z$. Плоскость проходит через точки:

• $M = (a/2, 0, 0)$ — середина первого ребра
• $N = (0, a/2, 0)$ — середина второго ребра
• параллельна третьему ребру (оси $z$)

Основание призмы — прямоугольный треугольник $MNP$ с катетами, параллельными осям. Площадь этого треугольника: $S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$.

Высота призмы. Призма вытянута параллельно третьему ребру на всю высоту куба, то есть высота призмы равна $a$.

Объём призмы. $$V_{\text{призма}} = S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{a^2}{8} \cdot a = \frac{a^3}{8} = \frac{12}{8} = 1,5$$

Основание призмы составляет $1/8$ площади основания куба, поэтому объём призмы равен $1/8$ объёма куба.