Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Разберемся, что происходит при пересечении призмы плоскостью, проходящей через среднюю линию основания параллельно боковому ребру.

Шаг 1. Понимаем геометрию сечения Средняя линия треугольного основания соединяет середины двух сторон. Плоскость, проходящая через эту среднюю линию и параллельная боковому ребру, пересекает призму, создавая новую (отсеченную) призму меньшего размера.

Шаг 2. Связь между основаниями По свойству средней линии треугольника: она параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит, каждая сторона основания отсеченной призмы составляет половину от соответствующей стороны исходной призмы.

Пусть стороны основания исходной призмы: $a$, $b$, $c$. Стороны основания отсеченной призмы: $\frac{a}{2}$, $\frac{b}{2}$, $\frac{c}{2}$.

Шаг 3. Боковые грани — прямоугольники Каждая боковая грань призмы — прямоугольник со сторонами (сторона основания) × (высота призмы $h$).

Для исходной призмы: площади боковых граней равны $a \cdot h$, $b \cdot h$, $c \cdot h$.

Для отсеченной призмы: площади боковых граней равны $\frac{a}{2} \cdot h$, $\frac{b}{2} \cdot h$, $\frac{c}{2} \cdot h$.

Шаг 4. Сравнение площадей боковых поверхностей Каждая боковая грань отсеченной призмы вдвое меньше соответствующей грани исходной призмы.

Площадь боковой поверхности отсеченной призмы: $S_{отс} = \frac{h}{2}(a + b + c) = 37$.

Площадь боковой поверхности исходной призмы: $S_{исх} = h(a + b + c) = 2 \cdot 37 = 74$.