Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Многогранник с вершинами $A, B, C, A_1, B_1, C_1$ — это треугольная призма, «вырезанная» из шестиугольной призмы.

Шаг 1: Найдём площадь основания треугольной призмы.

Основанием служит треугольник $ABC$, который образуют три последовательные вершины правильного шестиугольника. В правильном шестиугольнике центр равноудалён от всех вершин на расстояние $R$ (радиус описанной окружности). Угол между соседними радиусами равен $60°$, значит угол $\angle ABC = 120°$ (это угол вписанного четырёхугольника).

Для треугольника $ABC$ со сторонами $AB = BC = R$ (стороны шестиугольника равны радиусу) и углом $120°$ между ними: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin 120° = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{R^2\sqrt{3}}{4}$$

Шаг 2: Связь с площадью шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника с радиусом описанной окружности $R$: $$S_{шест} = 6 \cdot \frac{R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2}$$

По условию $S_{шест} = 6$, поэтому: $$S_{ABC} = \frac{1}{6} \cdot S_{шест} = \frac{1}{6} \cdot 6 = 1$$

Шаг 3: Вычислим объём призмы.

Высота треугольной призмы равна боковому ребру исходной шестиугольной призмы: $h = 3$.

Объём: $$V = S_{ABC} \cdot h = 1 \cdot 3 = 3$$