Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Представим многогранник $A_1B_1BC$ как часть призмы, удалив лишние части.

Шаг 1. Определим объём всей призмы. Объём призмы вычисляется по формуле: $V_{\text{пр}} = S_{\text{осн}} \cdot h$, где $S_{\text{осн}} = 4$ — площадь основания, $h = 3$ — боковое ребро (высота). $$V_{\text{пр}} = 4 \cdot 3 = 12$$

Шаг 2. Поймём, что нужно вычесть. Многогранник $A_1B_1BC$ получается из призмы удалением двух пирамид:

• Пирамида $CA_1B_1C_1$ с вершиной $C$ и основанием $A_1B_1C_1$ (верхний треугольник)
• Пирамида $A_1ABC$ с вершиной $A_1$ и основанием $ABC$ (нижний треугольник)

Шаг 3. Объём первой пирамиды. Пирамида $CA_1B_1C_1$ имеет основание $A_1B_1C_1$ площадью 4 и высоту 3 (расстояние от точки $C$ до верхнего основания). $$V_1 = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 3 = 4$$

Шаг 4. Объём второй пирамиды. Пирамида $A_1ABC$ имеет основание $ABC$ площадью 4 и высоту 3 (расстояние от точки $A_1$ до нижнего основания). $$V_2 = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 3 = 4$$

Шаг 5. Объём искомого многогранника. $$V_{A_1B_1BC} = 12 - 4 - 4 = 4$$