Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Нам нужно найти объем многогранника с вершинами $A$, $B$, $C$, $A_1$, $C_1$. Удобнее всего вычислить его через разность объёмов.

Шаг 1: Объём всей призмы

Для правильной треугольной призмы применяем формулу $V_{\text{призмы}} = S_{\text{осн}} \cdot h$, где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, $h$ — боковое ребро (высота призмы).

$$V_{\text{призмы}} = 3 \cdot 2 = 6$$

Шаг 2: Выделим лишний многогранник

Полная призма содержит точки $A$, $B$, $C$, $A_1$, $B_1$, $C_1$. Нам нужны только $A$, $B$, $C$, $A_1$, $C_1$ — отсутствует вершина $B_1$. Значит, нужно исключить пирамиду с вершиной $B_1$ и основанием, образованным оставшимися точками.

Эта пирамида имеет основание $BA_1B_1C_1$ (треугольник в верхней грани призмы) и вершину в точке $B_1$. Но удобнее взять её основанием грань $A_1B_1C_1$ (верхнее основание призмы с площадью 3) и вершину $B$.

Шаг 3: Объём пирамиды

Пирамида $BA_1B_1C_1$ имеет основание площади 3 (верхнее основание призмы) и высоту 2 (расстояние между основаниями, то есть боковое ребро).

$$V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 2 = 2$$

Шаг 4: Искомый объём

$$V_{\text{мног}} = V_{\text{призмы}} - V_{\text{пир}} = 6 - 2 = 4$$