ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Призма

Задача 245340. Призма

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

В подтеме 51 задач
Разбор
Главная идея: Четыре точки A, B, C, A₁ образуют пирамиду с основанием ABC и вершиной A₁, высота которой равна боковому ребру призмы.

Многогранник с вершинами A, B, C, A₁ — это пирамида, основанием которой служит треугольник ABC (нижнее основание призмы), а вершиной является точка A₁ (из верхнего основания).

Шаг 1. Определение геометрической фигуры

Треугольник ABC лежит в нижнем основании призмы. Точка A₁ находится прямо над точкой A на расстоянии, равном боковому ребру (высоте призмы). Четыре точки A, B, C, A₁ образуют пирамиду с вершиной A₁.

Шаг 2. Вычисление высоты пирамиды

Высота пирамиды — это перпендикулярное расстояние от A₁ до плоскости ABC. Так как призма прямая, боковое ребро AA₁ перпендикулярно основанию ABC, поэтому высота пирамиды равна длине этого ребра: h=3h = 3.

Шаг 3. Площадь основания пирамиды

Основание пирамиды — треугольник ABC, который совпадает с основанием призмы. По условию его площадь равна S=2S = 2.

Шаг 4. Применение формулы объёма пирамиды

Объём пирамиды вычисляется по формуле: V=13ShV = \frac{1}{3}Sh

Подставляем значения: V=13⋅2⋅3=2V = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 3 = 2

Типичные ошибки

  • Путаница между объёмом призмы и объёмом пирамиды: объём всей призмы был бы 2 · 3 = 6, а пирамиды в три раза меньше
  • Неправильное определение высоты пирамиды: некоторые пытаются искать высоту от A₁ к другим граням, забыв, что высота — перпендикуляр к основанию ABC
  • Ошибка в применении формулы: использование формулы объёма призмы V = Sh вместо формулы объёма пирамиды V = Sh/3

Ещё задачи этой подтемы