ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Призма

Задача 245346. Призма

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

В подтеме 51 задач
Разбор
Главная идея: Четырёхугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁ занимает ровно половину объёма шестиугольной призмы, так как её основание — половина площади шестиугольного основания, а высота общая.

Правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ имеет основание — правильный шестиугольник. Нужно найти объём многогранника с вершинами A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁ — это четырёхугольная призма, основания которой лежат в плоскостях верхнего и нижнего оснований исходной шестиугольной призмы.

Ключевое наблюдение: четырёхугольник ABCD — это часть шестиугольника ABCDEF. Правильный шестиугольник состоит из шести равных равносторонних треугольников, каждый построен на стороне от центра. Четырёхугольник ABCD занимает ровно половину площади этого шестиугольника (это два противоположных треугольника плюс средняя область, всё в сумме дающее ровно половину).

Поэтому площадь основания четырёхугольной призмы равна: SABCD=12⋅Sшест=12⋅6=3S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot S_{шест} = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3

Высота четырёхугольной призмы совпадает с боковым ребром исходной шестиугольной призмы, то есть h=2h = 2.

Объём четырёхугольной призмы: V=Sосн⋅h=3⋅2=6V = S_{осн} \cdot h = 3 \cdot 2 = 6

Типичные ошибки

  • Попытка найти площадь четырёхугольника ABCD через диагонали или другие параметры вместо использования симметрии шестиугольника
  • Ошибка в определении того, какой именно многогранник требуется: неправильный выбор вершин или их интерпретация
  • Забывание, что высота четырёхугольной призмы совпадает с боковым ребром исходной шестиугольной призмы

Ещё задачи этой подтемы