Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Сначала найдём объём исходной правильной шестиугольной призмы. Объём призмы вычисляется по формуле:

$$V_{шест} = S_{основания} \cdot h$$

где площадь основания равна 6, а высота (боковое ребро) равна 2. Получаем:

$$V_{шест} = 6 \cdot 2 = 12$$

Теперь нужно понять, какую часть этого объёма занимает многогранник с вершинами в точках A, B, D, E, $A_1$, $B_1$, $D_1$, $E_1$. Это четырёхугольная призма.

В правильном шестиугольнике, если обозначить вершины последовательно как A, B, C, D, E, F, то точки A, B, D, E образуют четырёхугольник, который занимает определённую часть площади основания шестиугольника.

Ключное наблюдение: если соединить центр правильного шестиугольника с его вершинами, получится 6 равных треугольников. Четырёхугольник ABDE занимает ровно 4 таких треугольника (пропускаются вершины C и F), то есть занимает $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ площади шестиугольника.

Поскольку высота четырёхугольной призмы совпадает с высотой шестиугольной призмы, объём четырёхугольной призмы равен:

$$V_{четырёх} = \frac{2}{3} \cdot S_{шест} \cdot h = \frac{2}{3} \cdot 6 \cdot 2 = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$$