Задача 27106. Призма

Разберемся, что происходит при таком сечении.

Шаг 1: Понимаем геометрию сечения

Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон. Когда через неё проводят плоскость, параллельную боковому ребру призмы, эта плоскость отсекает от исходной призмы меньшую треугольную призму.

Шаг 2: Определяем размеры основания отсеченной части

Средняя линия параллельна третьей стороне основного треугольника и равна половине этой стороны. Она также находится на расстоянии, равном половине высоты исходного треугольника (измеренной к этой стороне).

Отсеченный треугольник подобен исходному с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$ (так как и основание, и высота треугольника уменьшились в 2 раза).

Шаг 3: Вычисляем площадь основания отсеченной части

Площадь подобного треугольника изменяется как квадрат коэффициента подобия: $$S_{\text{отсеч}} = S_{\text{исх}} \cdot k^2 = S_{\text{исх}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{S_{\text{исх}}}{4}$$

Шаг 4: Вычисляем объем отсеченной призмы

Высота боковая остается неизменной, поэтому: $$V_{\text{отсеч}} = S_{\text{отсеч}} \cdot h = \frac{S_{\text{исх}}}{4} \cdot h = \frac{1}{4}(S_{\text{исх}} \cdot h) = \frac{1}{4} V_{\text{исх}}$$

Подставляем: $$V_{\text{отсеч}} = \frac{32}{4} = 8$$