Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Обозначим сторону куба как $a$.

Шаг 1. Найдём длину $AD_1$. Отрезок $AD_1$ — диагональ боковой грани $ADD_1A_1$ (квадрат со стороной $a$). По теореме Пифагора: $AD_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Шаг 2. Найдём длину $B_1D_1$. Отрезок $B_1D_1$ — диагональ верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ (квадрат со стороной $a$). По теореме Пифагора: $B_1D_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Шаг 3. Найдём длину $B_1A$. Отрезок $B_1A$ соединяет вершины $B_1$ верхней грани и $A$ нижней грани. Они находятся на противоположных концах диагонали боковой грани $ABB_1A_1$ (квадрат со стороной $a$). По теореме Пифагора: $B_1A = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Шаг 4. Построим треугольник $\triangle AD_1B_1$. Мы выявили, что все три стороны равны: $AD_1 = B_1D_1 = B_1A = a\sqrt{2}$. Значит, треугольник равносторонний.

Шаг 5. Определим угол между прямыми. Угол между двумя пересекающимися прямыми равен углу между ними в плоскости пересечения. В треугольнике $\triangle AD_1B_1$ каждый угол равносторонней треугольника составляет $60°$. Угол между прямыми $AD_1$ и $B_1D_1$ — это угол $\angle AD_1B_1 = 60°$.