Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Правильная четырёхугольная призма — это прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием. Обозначим сторону квадрата основания как $a$, высоту призмы как $h$.

Шаг 1. Найдём связь между $a$ и $h$ из условия $AC_1 = 2BC$.

Диагональ основания $AC = a\sqrt{2}$ (диагональ квадрата со стороной $a$).

Диагональ призмы $AC_1 = \sqrt{(AC)^2 + h^2} = \sqrt{2a^2 + h^2}$ (по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ACC_1$).

Сторона основания $BC = a$.

Из условия: $\sqrt{2a^2 + h^2} = 2a$. Возведём в квадрат: $2a^2 + h^2 = 4a^2$, откуда $h^2 = 2a^2$, то есть $h = a\sqrt{2}$.

Шаг 2. Рассмотрим диагональное сечение $BCA_1D_1$ — это прямоугольник (противоположные стороны призмы параллельны и равны).

В этом прямоугольнике диагонали $BD_1$ и $CA_1$ пересекаются. Нужно найти острый угол между ними.

Шаг 3. В прямоугольном треугольнике $A_1BC$: $BC = a$, $AC = a\sqrt{2}$, $A_1C = 2a$ (по условию).

Проверим: $\sqrt{(BC)^2 + (A_1B)^2} = A_1C$, где $A_1B = \sqrt{h^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$.

В треугольнике $A_1BC$: $\cos(\angle A_1CB) = \frac{BC}{A_1C} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$, поэтому $\angle A_1CB = 60°$.

Шаг 4. По аналогии, в треугольнике $D_1BC$: угол $\angle D_1BC = 60°$.

Шаг 5. В треугольнике $BGC$ (где $G$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника): $\angle A_1CB = 60°$ и $\angle D_1BC = 60°$. Третий угол $\angle BGC = 180° - 60° - 60° = 60°$.

Это и есть угол между диагоналями.