Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Сечение плоскостью, проходящей через точки $A$, $A_1$ и $C$, образует прямоугольник $AA_1C_1C$. Это происходит потому, что $A$ и $C$ — противоположные вершины нижнего основания, а $A_1$ и $C_1$ — противоположные вершины верхнего основания призмы. Стороны $AA_1$ и $CC_1$ параллельны и равны как боковые рёбра, поэтому четырёхугольник действительно прямоугольник.

В правильной четырёхугольной призме диагонали всех диагональных сечений равны. В частности, диагональ $BD_1$ (идущая из вершины основания в противоположную вершину верхнего основания) равна диагонали $A_1C$ того же сечения: $BD_1 = A_1C = 17$.

Диагональ $A_1C$ образует прямоугольный треугольник $ACC_1$ (нет, ошибка — $AA_1C$), где гипотенуза $A_1C = 17$, один катет $AA_1 = 15$ (высота призмы). По теореме Пифагора находим второй катет $AC$ (диагональ основания): $$AC = \sqrt{(A_1C)^2 - (AA_1)^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$$

Площадь прямоугольного сечения $AA_1C_1C$ равна произведению двух смежных сторон: $$S = AA_1 \cdot AC = 15 \cdot 8 = 120$$