Задача 27148. Призма

Шаг 1. Найдём сторону ромба через его диагонали.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Если диагонали равны $d_1 = 6$ и $d_2 = 8$, то они разбивают ромб на четыре прямоугольных треугольника. В каждом треугольнике катеты равны $\frac{d_1}{2} = 3$ и $\frac{d_2}{2} = 4$.

По теореме Пифагора сторона ромба: $$a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Шаг 2. Найдём площадь основания (ромба).

Площадь ромба через диагонали: $$S_{\text{основ}} = \frac{1}{2}d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$$

Шаг 3. Выразим боковое ребро из формулы площади поверхности.

Прямая призма имеет два основания (верхнее и нижнее) и четыре боковых грани — прямоугольники со сторонами $a$ и $H$ (где $H$ — боковое ребро).

Полная площадь поверхности: $$S = 2S_{\text{основ}} + 4aH$$

Подставим известные значения: $$248 = 2 \cdot 24 + 4 \cdot 5 \cdot H$$ $$248 = 48 + 20H$$ $$200 = 20H$$ $$H = 10$$