Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Обозначим ребро куба как $a$. Пусть из вершины куба выходят три ребра. Плоскость проходит через середины двух из них и параллельна третьему.

Шаг 1: Определение основания и высоты призмы.

Возьмём вершину куба и три выходящих из неё ребра. Отметим середины двух рёбер — обозначим их $F$ и $E$. Третьё ребро параллельно отсечённой плоскости. Высота отсечённой призмы совпадает с ребром куба, то есть равна $a$.

Шаг 2: Анализ основания призмы.

Основание отсечённой призмы — треугольник $FCE$, где $F$ и $E$ — середины двух рёбер, выходящих из одной вершины куба. Соединим эти точки с противоположными вершинами противоположной грани куба. Получится треугольник, подобный треугольнику на противоположной грани.

Отрезок $FE$ — средняя линия большого треугольника (образованного на грани куба), поэтому она параллельна его третьей стороне и равна её половине. Треугольники подобны с коэффициентом $1:2$.

Шаг 3: Соотношение площадей.

При коэффициенте подобия $1:2$ площади подобных фигур относятся как $1:4$. Значит, площадь основания призмы в 4 раза меньше площади грани куба (которая сама по себе половина квадрата).

Площадь грани куба — $a^2$. Площадь основания призмы — $\frac{a^2}{8}$ (поскольку треугольник составляет половину квадрата грани, а наш треугольник — четверть от этого).

Шаг 4: Вычисление объёма призмы и куба.

Объём отсечённой призмы: $V_{\text{призмы}} = \frac{a^2}{8} \cdot a = \frac{a^3}{8} = 2$.

Отсюда $a^3 = 16$.

Объём куба равен $a^3 = 16$.