Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Шаг 1. Объём исходной призмы.

Пусть сторона основания шестиугольной призмы равна $a$. Площадь правильного шестиугольника — это 6 равносторонних треугольников со стороной $a$: $$S_1=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3}{2}a^2.$$ Тогда $$V_1=S_1\cdot 18=\frac{3\sqrt3}{2}a^2\cdot 18=27\sqrt3\,a^2.$$

Шаг 2. Объём новой призмы.

Сторона основания правильной треугольной призмы равна $2a$, значит $$S_2=\frac{(2a)^2\sqrt3}{4}=\sqrt3\,a^2,\qquad V_2=\sqrt3\,a^2\cdot h.$$

Шаг 3. Объём льда сохраняется (масса не меняется, плотность та же), поэтому $V_1=V_2$: $$\sqrt3\,a^2h=27\sqrt3\,a^2\ \Rightarrow\ h=27.$$