Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Обозначим исходную призму как $ABCA'B'C'$, где $ABC$ — основание. Через среднюю линию основания (она соединяет середины двух сторон треугольника) проведена плоскость, параллельная боковому ребру.

Шаг 1: Определение отсечённой части Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине. Плоскость, проходящая через эту среднюю линию и параллельная боковому ребру, отсекает от призмы меньшую треугольную призму.

Шаг 2: Сравнение оснований Отсечённая часть имеет основанием треугольник, подобный исходному с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$ (средняя линия отсекает треугольник, высота которого в 2 раза меньше, и основание в 2 раза меньше).

Площадь подобного треугольника уменьшается в $k^2 = 4$ раза: $$S_{\text{отс}} = \frac{S_{\text{основн}}}{4}$$

Шаг 3: Сравнение высот Так как плоскость параллельна боковому ребру, высоты обеих частей призмы (расстояния между основаниями) одинаковы: $h_{\text{отс}} = h_{\text{целой}}$.

Шаг 4: Вычисление объёмов Объём призмы: $V = S_{\text{основн}} \cdot h$.

Объём отсечённой части: $$V_{\text{отс}} = S_{\text{отс}} \cdot h = \frac{S_{\text{основн}}}{4} \cdot h = \frac{V_{\text{целой}}}{4}$$

Следовательно: $$V_{\text{целой}} = 4 \cdot V_{\text{отс}} = 4 \cdot 7 = 28$$