ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Призма

Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхностьОтношение длин, площадей, объемов подобных фигур

Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 6. Какой станет площадь поверхности призмы, если все её рёбра увеличатся в три раза, а форма останется прежней?

В подтеме 51 задач
Разбор
Главная идея: При увеличении всех размеров фигуры в kk раз площадь поверхности увеличивается в k2k^2 раз — это свойство подобия для трёхмерных тел.

Когда все рёбра призмы увеличиваются в одинаковое число раз, получается фигура, подобная исходной с некоторым коэффициентом подобия.

Шаг 1. Определяем коэффициент подобия.

Все рёбра увеличены в 3 раза, значит коэффициент подобия k=3k = 3.

Шаг 2. Применяем свойство подобных фигур.

Для подобных трёхмерных тел площади их поверхностей относятся как квадрат коэффициента подобия: SноваяSстарая=k2\frac{S_{\text{новая}}}{S_{\text{старая}}} = k^2

Это следует из того, что площадь любой грани — двумерная величина, поэтому при масштабировании на коэффициент kk каждая линейная размер умножается на kk, а площадь каждой грани умножается на k2k^2.

Шаг 3. Вычисляем новую площадь поверхности.

Sновая=Sстарая⋅k2=6⋅32=6⋅9=54S_{\text{новая}} = S_{\text{старая}} \cdot k^2 = 6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54

Ответ: 54

Типичные ошибки

  • Ошибка 1: Умножение на коэффициент подобия вместо его квадрата (6 × 3 = 18 вместо 6 × 9 = 54). Площадь — двумерная величина, поэтому увеличивается на k2k^2, а не на kk.
  • Ошибка 2: Отдельный расчёт площади каждой грани без использования свойства подобия. Это очень долго и создаёт риск ошибок, хотя в принципе даст верный результат.
  • Ошибка 3: Перепутывание с объёмом. Если бы спрашивали об объёме, коэффициент был бы k3=27k^3 = 27, а не k2=9k^2 = 9.
Непонятно?

Похожие задачи