Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Обозначим середины рёбер: $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $AC$, $M_1$ — середина $A_1B_1$, $N_1$ — середина $A_1C_1$.

Шаг 1: Определяем форму сечения. Сечение проходит через четыре точки $M$, $N$, $M_1$, $N_1$. Нужно проверить, что это плоский четырёхугольник и найти его вид.

Шаг 2: Находим первую сторону сечения $MN$. В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно. По свойству средней линии треугольника: $$MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$$ Сторона $MN$ параллельна $BC$ и лежит в нижнем основании.

Шаг 3: Находим сторону $M_1N_1$. Аналогично в треугольнике $A_1B_1C_1$ точки $M_1$ и $N_1$ — середины сторон $A_1B_1$ и $A_1C_1$. Значит: $$M_1N_1 = \frac{1}{2}B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$$ Обе параллельные стороны равны 1.

Шаг 4: Находим боковые стороны $MM_1$ и $NN_1$. Точка $M$ лежит на ребре $AB$, точка $M_1$ лежит на ребре $A_1B_1$. Четырёхугольник $ABB_1A_1$ — прямоугольник (боковая грань правильной призмы). Так как $M$ и $M_1$ — середины противоположных сторон этого прямоугольника, отрезок $MM_1$ параллелен боковым рёбрам и равен их длине: $$MM_1 = 5$$ Аналогично $NN_1 = 5$.

Шаг 5: Проверяем, что $MNMN_1$ — прямоугольник. Имеем $MN \parallel M_1N_1$ (обе параллельны $BC$) и $MM_1 \parallel NN_1$ (обе перпендикулярны плоскостям оснований). Противоположные стороны параллельны и равны, значит это параллелограмм. Так как боковые рёбра перпендикулярны основаниям, углы прямые — это прямоугольник со сторонами 1 и 5.

Шаг 6: Вычисляем площадь. $$S = 1 \cdot 5 = 5$$