Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Обозначим объём целой призмы как $V$, а объём отсечённой части как $V_{отс} = 5$.

Шаг 1: Понимаем геометрию отсечённой части. Через среднюю линию основания проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон. Плоскость, проходящая через эту линию параллельно боковому ребру, отсекает от исходной призмы меньшую треугольную призму.

Шаг 2: Найдём отношение площадей оснований. Через среднюю линию исходный треугольник делится на две части: меньший треугольник (подобный исходному) и трапецию. Меньший треугольник имеет стороны в 2 раза меньше исходного (свойство средней линии). По теореме о подобии площадь меньшего треугольника составляет $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ от площади исходного основания: $$S_{отс} = \frac{1}{4}S$$

Шаг 3: Сравниваем объёмы. Обе части (исходная призма и отсечённая часть) имеют одинаковую высоту $h$ — это расстояние между плоскостями оснований, которое не меняется при проведении секущей плоскости параллельно боковому ребру.

Объём призмы: $V = S \cdot h$

Объём отсечённой части: $V_{отс} = S_{отс} \cdot h = \frac{1}{4}S \cdot h = \frac{1}{4}V$

Шаг 4: Находим объём целой призмы. Из соотношения $V_{отс} = \frac{1}{4}V$ получаем: $$V = 4 \cdot V_{отс} = 4 \cdot 5 = 20$$