Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Призма

Разберём, что происходит при таком сечении.

Исходная призма имеет треугольное основание. Когда мы проводим плоскость через среднюю линию основания параллельно боковому ребру, эта плоскость пересекает призму и отсекает от неё меньшую призму.

Ключное наблюдение: средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине: $l_{\text{средняя}} = \frac{1}{2} \cdot a_{\text{основания}}$.

Сечение, проведённое через эту среднюю линию параллельно боковому ребру, образует боковые грани отсечённой призмы. Каждая боковая грань отсечённой призмы — это прямоугольник, у которого одна сторона (вдоль среднюю линию основания) в два раза меньше, чем соответствующая сторона в исходной призме.

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение сторон. Если одна сторона уменьшилась в 2 раза, а вторая сторона (высота призмы, т.е. боковое ребро) осталась той же, то площадь каждой боковой грани уменьшается в 2 раза.

Поскольку боковая поверхность состоит из трёх боковых граней, и каждая из них вдвое меньше, то и суммарная площадь боковой поверхности вдвое меньше:

$$S_{\text{отсеч}} = \frac{1}{2} \cdot S_{\text{исходная}} = \frac{24}{2} = 12$$