Задание 3 ЕГЭ профиль: цилиндр и сосуды с жидкостью

О чём эта подтема

Задание 3 профильного ЕГЭ по математике проверяет умение работать с простыми пространственными телами — призмой, параллелепипедом, конусом, шаром и цилиндром. Подтема «Цилиндр» — одна из самых частых: она встречается не только в виде прямого вычисления объёма или площади поверхности, но и в практических сюжетах про сосуды с водой, погружение деталей и переливание жидкости из одного сосуда в другой.

Особенность таких задач в том, что реального цилиндра как геометрической фигуры «с числами» может и не быть — вместо этого дан сосуд цилиндрической формы, заполненный жидкостью до определённого уровня. Работать нужно не с полным объёмом цилиндра, а с объёмом налитой жидкости, который тоже вычисляется по формуле цилиндра, только с переменной высотой. Понимание этого факта — ключ к быстрому решению всей группы задач.

Задание считается лёгким при условии, что ученик твёрдо помнит формулу объёма цилиндра и умеет аккуратно составлять уравнение баланса объёмов. Никакой сложной геометрии здесь нет — это, по сути, алгебраическая задача, «упакованная» в геометрический сюжет.

Что нужно знать

Для решения всех задач этой подтемы достаточно нескольких фактов.

1. Объём цилиндра. Если радиус основания цилиндра равен $R$, а высота — $h$, то его объём вычисляется по формуле: $$V = \pi R^2 h.$$

Если известен диаметр основания $D$, то радиус $R = \dfrac{D}{2}$, и формула принимает вид: $$V = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 h = \frac{\pi D^2 h}{4}.$$

2. Объём жидкости в цилиндрическом сосуде. Если сосуд имеет форму цилиндра с радиусом основания $R$, а жидкость налита до высоты $h$, то объём этой жидкости считается так же, как объём цилиндра с той же высотой: $$V_{\text{ж}} = \pi R^2 h.$$

Это главный факт: площадь основания у сосуда постоянна (она равна $\pi R^2$), а меняется только высота столба жидкости. Значит, объём жидкости прямо пропорционален высоте её уровня.

3. Принцип сохранения объёма при погружении тела. Когда в сосуд с жидкостью полностью погружают твёрдое тело, жидкость вытесняется, и уровень поднимается. Объём вытесненной жидкости (то есть прирост объёма столба жидкости) равен объёму погружённого тела: $$V_{\text{тела}} = V_{\text{после}} - V_{\text{до}} = \pi R^2 (h_2 - h_1),$$ где $h_1$ — исходный уровень, $h_2$ — уровень после погружения тела, $R$ — радиус сосуда.

4. Принцип сохранения объёма при переливании. Если жидкость переливают из одного цилиндрического сосуда в другой (или в тот же сосуд другой формы), объём жидкости не меняется: $$V = \pi R_1^2 h_1 = \pi R_2^2 h_2,$$ где $R_1, h_1$ — радиус и высота уровня в первом сосуде, $R_2, h_2$ — во втором.

Отсюда полезное следствие: если известно отношение диаметров (или радиусов) сосудов, то высоты уровней жидкости обратно пропорциональны квадратам радиусов: $$\frac{h_2}{h_1} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2.$$

5. Число $\pi$ часто сокращается. Поскольку почти во всех уравнениях этой подтемы $\pi$ входит в обе части равенства (или в объём жидкости и объём тела), оно, как правило, сокращается, и вычисления сводятся к работе с площадями оснований, выраженными без $\pi$, либо просто с квадратами радиусов и диаметров. Это сильно упрощает арифметику и позволяет решать задачи почти устно.

Больше для этой подтемы знать не нужно: ни боковая поверхность, ни осевые сечения цилиндра здесь обычно не задействованы — сюжет всегда сводится к объёму.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач про цилиндрические сосуды почти всегда одинаков.

Шаг 1. Определить, что известно и что нужно найти. Прочитать условие и выписать все числовые данные: объём жидкости, высоту уровня, диаметр (или радиус) сосуда, изменение уровня при каких-либо действиях (погружение тела, переливание, добавление жидкости).

Шаг 2. Записать объём жидкости через площадь основания и высоту. Если площадь основания сосуда неизвестна, но известны объём и высота уровня, площадь основания можно найти как: $$S = \pi R^2 = \frac{V}{h}.$$ Эту величину удобно вычислить один раз и затем использовать для дальнейших расчётов — она не меняется, пока речь идёт об одном и том же сосуде.

Шаг 3. Сформулировать уравнение баланса объёмов в зависимости от типа сюжета:

— если в сосуд погружают тело, то объём тела равен приросту объёма жидкости: $$V_{\text{тела}} = S \cdot \Delta h,$$ где $\Delta h$ — изменение уровня (подъём);

— если жидкость переливают в другой сосуд, то объём остаётся постоянным: $$S_1 h_1 = S_2 h_2;$$

— если в сосуд доливают ещё жидкость, то новый объём равен сумме прежнего и добавленного.

Шаг 4. Подставить числа и решить уравнение. Как правило, уравнение линейное относительно неизвестной величины (объёма, высоты или площади), поэтому решается элементарно.

Шаг 5. Проверить размерность ответа. Обычно ответ нужно дать в кубических сантиметрах (для объёма) или в сантиметрах (для высоты уровня) — важно не перепутать, что именно спрашивается.

Важная деталь: при работе с двумя сосудами разного диаметра всегда переходите к отношению площадей оснований через квадрат отношения диаметров (или радиусов), а не через сами диаметры — это самая частая ошибка в подобных задачах.

Разбор примера

Пример 1.

Условие: в цилиндрический сосуд налили $2000$ см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты $12$ см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на $9$ см. Чему равен объём детали?

Шаг 1. Дано: $V_0 = 2000$ см³ — объём воды, $h_0 = 12$ см — начальный уровень, $\Delta h = 9$ см — подъём уровня после погружения детали. Найти $V_{\text{тела}}$.

Шаг 2. Найдём площадь основания сосуда. Поскольку объём жидкости связан с высотой уровня формулой $V_0 = S \cdot h_0$, выразим площадь: $$S = \frac{V_0}{h_0} = \frac{2000}{12} = \frac{500}{3} \text{ см}^2.$$

Шаг 3. Объём вытесненной жидкости (равный объёму детали) — это объём слоя жидкости толщиной $\Delta h$ и площадью основания $S$: $$V_{\text{тела}} = S \cdot \Delta h = \frac{500}{3} \cdot 9.$$

Шаг 4. Вычисляем: $$V_{\text{тела}} = \frac{500 \cdot 9}{3} = 500 \cdot 3 = 1500 \text{ см}^3.$$

Ответ: $1500$ см³.

Обратите внимание: здесь ни разу не понадобилось находить сам радиус сосуда или использовать число $\pi$ — вся задача решается через отношение объёма к высоте, то есть через площадь основания как вспомогательную величину. Это типичный приём: если радиус явно не нужен для ответа, не стоит его вычислять — работайте сразу с площадью основания.

Пример 2.

Условие: в цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает $16$ см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй сосуд, диаметр которого в $2$ раза больше первого?

Шаг 1. Дано: $h_1 = 16$ см — уровень жидкости в первом сосуде, $D_2 = 2D_1$ — диаметр второго сосуда вдвое больше диаметра первого. Найти $h_2$.

Шаг 2. Так как жидкость переливается без потерь, объём жидкости не меняется: $$V = S_1 h_1 = S_2 h_2,$$ где $S_1$ и $S_2$ — площади оснований первого и второго сосудов.

Шаг 3. Площадь основания цилиндра пропорциональна квадрату диаметра (или радиуса): $$S = \pi R^2 = \frac{\pi D^2}{4}.$$ Поскольку $D_2 = 2D_1$, получаем: $$S_2 = \frac{\pi (2D_1)^2}{4} = \frac{4\pi D_1^2}{4} = \pi D_1^2 = 4 \cdot \frac{\pi D_1^2}{4} = 4 S_1.$$

То есть площадь основания второго сосуда в $4$ раза больше площади основания первого — потому что диаметр вошёл в формулу площади в квадрате.

Шаг 4. Подставляем в равенство объёмов: $$S_1 h_1 = 4 S_1 \cdot h_2 \quad \Rightarrow \quad h_1 = 4 h_2 \quad \Rightarrow \quad h_2 = \frac{h_1}{4}.$$

Шаг 5. Вычисляем: $$h_2 = \frac{16}{4} = 4 \text{ см}.$$

Ответ: $4$ см.

Здесь ключевая идея — не забыть, что диаметр входит в формулу площади в квадрате, поэтому увеличение диаметра в $2$ раза даёт увеличение площади основания и, соответственно, уменьшение уровня жидкости в $4$ раза, а не в $2$.

Типичные ошибки

Ошибка 1: путают радиус и диаметр. Если в условии дан диаметр, а в формулу объёма или площади подставляют его вместо радиуса без деления на $2$, результат окажется завышенным в $4$ раза. Всегда проверяйте, что именно дано — радиус или диаметр.

Ошибка 2: забывают возвести отношение диаметров (радиусов) в квадрат. При сравнении двух сосудов разного размера отношение площадей оснований равно квадрату отношения диаметров, а не самому отношению. Если диаметр увеличился в $k$ раз, площадь основания увеличилась в $k^2$ раз, и именно во столько же раз (при том же объёме) уменьшится высота уровня жидкости.

Ошибка 3: путают объём тела с объёмом жидкости после погружения. Объём погружённого тела равен не всему новому объёму жидкости, а только приросту — разности между новым и старым уровнем, умноженной на площадь основания. Часто ошибочно берут весь объём жидкости после погружения как объём тела.

Ошибка 4: не учитывают, что тело погружено полностью. Если тело погружено не полностью (плавает, торчит над поверхностью), то расчёт через простое умножение площади на прирост высоты неверен — но в задачах этой подтемы почти всегда прямо сказано «полностью погрузили», и об этом важно не забывать при проверке условия.

Ошибка 5: не сокращают $\pi$. Часто ученики честно подставляют численное значение $\pi \approx 3{,}14$ и проводят громоздкие вычисления там, где $\pi$ можно и нужно сократить в самом начале, оставив только числовые коэффициенты. Это увеличивает риск арифметической ошибки и тратит время.

Ошибка 6: путают, что именно спрашивают в ответе. Задача может просить найти объём тела, высоту уровня жидкости или объём жидкости — важно чётко зафиксировать искомую величину до начала вычислений, чтобы не дать ответ «не на тот вопрос».

На что обратить внимание на экзамене

Перед решением задачи про цилиндрический сосуд полезно за несколько секунд определить тип сюжета: погружение тела, переливание жидкости или просто вычисление объёма/площади самого цилиндра. От этого зависит, какую формулу баланса объёмов записывать.

Всегда выписывайте площадь основания как отдельную вспомогательную величину — часто именно она (а не радиус) нужна для решения, и её удобнее находить сразу как $S = V/h$, если известны объём и высота.

При сравнении двух сосудов разного диаметра сразу переводите отношение диаметров в отношение площадей через квадрат — это самый частый источник ошибок и самый быстрый способ решить задачу правильно.

Обращайте внимание на единицы измерения: если высота дана в сантиметрах, а объём — в кубических сантиметрах, следите, чтобы в ответе стояла именно та величина и единица, которая требуется по условию.

Задачи этой подтемы решаются, как правило, за одну-две минуты, если сразу распознать структуру: составить уравнение объёмов, сократить лишнее (включая $\pi$) и довести арифметику до конца. Не усложняйте решение вычислением радиуса или объёма всего сосуда, если по условию это не требуется напрямую — экономьте время для других заданий экзамена.